【每日一练】
设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即，商品和商品的价格分别为
和，消费者的收入为，和为常数，且。
（1）求该消费者关于商品和的需求函数。
（2）证明当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。
（3）证明消费者效用函数中的参数
和分别为商品和商品的消费支出占消费者收入的份额。
【考察点】
本题考查的是常用的效用函数——柯布-道格拉斯型效用函数的相关问题。
【解析】
（1）由消费者的效用函数，可得： 
消费者的预算约束方程为                 ①
根据消费者效用最大化条件：              ②                           
得：                                    ③
解方程组③，可得：                         ④
                                          ⑤
关系式④和⑤即为消费者关于商品和商品的需求函数。
（2）当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为：
                         ⑥
其中为一个非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为：
                            ⑦
由于，故方程组⑦化为：
                                       ⑧
显然，方程组⑧就是方程组③，故其解就是式④和式⑤。
这表明，消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。
（3）由消费者的需求函数④和⑤，可得：
                                     ⑨
                                     ⑩
关系式⑨的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额。关系式⑩的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实。
【点评】
柯布-道格拉斯型效用函数是效用函数中常见的函数之一，切忌与柯布-道格拉斯生产函数混淆。题目所得结论也可在选择题中直接利用。

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