第二章、线性方程组

思考与点拨

本章要求理解线性齐次方程组有非零解、唯一零解，线性非齐次方程组无解、唯一解、无穷多解的充分必要条件，理解线性齐次方程组的基础解系、通解、解空间的概念，掌握求解的方法，并会求解，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念，并会求解。

本章试题大致有三种类型：

1.判别齐次方程组是否有非零解，非齐次方程组AX=b是否无解、唯一解、无穷多解Am×n X=O有非零解(唯一零解)⇔r(A)的列向量组线性相关(线性无关)。

Am×n X=O无解⇔r(A)≠r[A ︳b].

唯一解⇔r(A)=r[A ︳b]=n.

无穷多解⇔r(A)= r[A ︳b]=r.

当A是n×n矩阵时，还可用︳A ︳=O(或≠0)判别(例题1.1)，并说明解的几何意义。

判别某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解，及两个方程组是否同解等(例题2.1)。

2.求解线性齐次方程组的基础解系和通解(例题3.5)，求解非齐次方程组的通解(例题3.6)(包括含有参数时，有解情况的讨论)，求解方程组时，请注意每个步骤的正确性.步骤如下：

(1)抄对系数矩阵或增广矩阵;

(2)正确进行初等行变换，含有参数时，要选择合适的消元的顺序;

(3)全面讨论参数的取值与解的关系;

(4)认定r(A)(即独立未知量，独立方程个数)，认定自由未知量，并赋予合适的特定值，回代方程，求得基础解系及齐次通解(或先求通解，后得基础解系);

(5)求非齐次特解，解的结构，求出非齐次通解。

并应注意到方程组

Am×n X=[α1，α2，…αn]X=β

其齐次方程组的解是向量组α1，α2，…αn的线性相关的线性组合系数，非齐次特解(及通)是β由α1，α2，…αn线性表出的表出系数(例题3.3)。

当AB=0时，B的列向量是AX=0的解向量(例题3.6)。

3.证明某组向量是方程组的基础解系(例题3.1，3.2)。向量组α1，α2，…αs是方程组AX=0的基础解系要满足三条，①Aαi=0(i=1，2，3，…s)，②α1，α2，…αn线性无关，③s=n-r(A)。

第三章、特征值、特征向量

思考与点拨

特征值、特征向量是线性代数的重要内容，是考研的重点之一。

共有三部分要求：

1.理解特征值、特征向量的概念和性质，会求矩阵An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有两条思路。

(1)利用定义，求满足定义Aξ=λξ(ξ≠0)的λ和ξ，一般适用于抽象矩阵。

若An×n有特征值λ，对应的特征向量为ξ，则利用定义可求得A2，Ak，f(A)是多项式)的特征值为λ2，λk，f(λ)当A可逆时，则A-1，A*，…，对应的特征值为1/λ,︳A ︳/λ，…，(如题1.1)，特征向量仍是ξ。

(2)利用特征方程求︳λE-A︳=0，再由(λE-A )x=0求出基础解系得对应于λ的线性无关特征向量，一般适用于具体的数值矩阵。

显然对角阵，上、下三角阵的特征值为对角元素(特征向量是什么?).当r(A)=r时，A有特征值λ=0，对应的特征向量是AX=0的基础解系，故共有n-r(A)个线性无关特征向量，λ=O至少是n-r(A)重特征值，An×n中每行元素和为k时，则λ=k，对应的特征向量是ξ=[1，1，…1]T。(如题1.2)。

反之应会利用特征值、特征向量的定义，建立方程，来确定参数(如题3 1)。

关于特征值、特征向量还有许多性质，如，在计算行列式及求特征值时均可利用。

2.矩阵的相似对角化，理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角阵的方法。

应会用矩阵可相似对角化的充耍条件，讨论含参矩阵何时能相似对角化(如题3.6)，会利用相似的概念和性质来确定参数。

应会利用特征值、特征向量反求矩阵A，会利用相似对角阵，计算︳A ︳，An，Anβ等。

3.实对称矩阵的相似对角化：实对称阵特征值是实数，不同特征值对应的特征向量相互正交，实对称阵必存在可逆阵P，使得P-1AQ=Λ ，且存在正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ，即实对称阵必既相似于对角阵，又合同于对角阵。

用正交矩阵将实对称阵A相似对角化，要将特征向量标准正交化，不同特征值对应的特征向量已相互正交，对A的r重特征值对应的r个特征向量应用Schmidt正交化方法正交化(或求特征向量时，考虑到正交化)对实对称阵，还可用不同特征值对应的特征向量相互正交的性质，求特征向量。

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