第四章、二次型

思考与点拨

二次型的试题，相对而言，出现的频率较低，一般来说，线性代数的两个大题中，般有个出自矩阵的特征值、特征向量或二次型这两章之中。

二次型的中心问题有两个：

1.化二次型为标准形规X形问题，大纲要求会用配方法和正交变换法化二次型为标准形、(正交变换只能化标准形)规X形(初等变换法不要求)，用矩阵的语言，实对称阵A合同于对角阵Λ，即求可逆阵C，使得CTAC=Λ，或求正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ的问题。

2.二次型(及对应矩阵A)的正定性的判别与证明的问题。

注意：

(1)在线性代数中研究二次型，首先要求将二次型表示成矩阵形式，即f(x1，x2，…xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=[x1，x2，…xn]T，这样A和f一一对应，r(A)=r(f)，A正定即f正定(见题3.4)。

(2)用正交变换只能化二次型为标准形，且其标准形的系数就是A的特征值(见题1.1，3.1).而正交变换矩阵由A的单位正交特征向量组成，即Q=[ξ10，ξ20，…ξn0]，其中

(3)对具体的数值二次型或实对称阵(或含有参数)，其正定性一般用顺序主子式大于零判别，当然也可化成标准形，f或A正定⇔正惯性指数=n(未知量的个数)，若f(x1，x2，…xn)已是正的平方和，则f(x1，x2，…xn)≥O，只需证明f=O⇔X=0，则X≠0，有f>0.即正定，二次型正定性的证明般用定理(正定的充分必要条件)，最后的办法是用定义。

(4)两个二次型(或实对称阵)合同⇔有相同的正、负惯性指数⇔相同的正惯性指数和秩。

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