线性代数

第一章、行列式

思考与点拨

行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现。

一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题

1.行列式的计算题.例如：

计算行列式：

 

计算行列式的值：

这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决。

多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值。

(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化。

︳An×n ︳是否为零，除直接计算出︳A ︳=O(或≠0)，或计算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n ︳=0(≠0)⇔An×n不可逆(可逆)

⇔r(A)，不满秩(=n，满秩)

⇔An×n X=O有非零解(只有零解)

⇔An×n X=b有唯一解(解不唯一;可能无解;若有解，则为无穷解)

⇔An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)

注意这些都是充分必要条件，可以相互判别。

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