考研数学冲刺专题之二重积分的计算

二重积分是高数下册的重点。特别是考数二的同学要更加引起重视，因为数二在高数下册不考无穷级数，不考三重积分，曲线积分和曲面积分，所以考试的重点就集中在二重积分上。

做任何有关二重积分的问题，第一步都是要把图画出来，正确的画图是正确做题的前提。通过作图来寻找积分的上下限，有的时候这种问题还会反过来，即把积分上下限告诉你，然后自己画图。更综合的题目是交换积分顺序：先告诉你积分上下限，通过他做出图形，再根据图形写出交换积分顺序之后新的上下限。

计算二重积分的根本方法是转化成累次积分，按照X型或Y型写出积分上下限，然后再计算。其中有一些小的技巧，比如利用奇偶对称性或者轮换对称性化简积分等等。这时候就需要观察图形的具体形状以及函数的具体形式，通常情况下，可以使用对称性的积分，积分区域或被积函数都有着明显的特点，要注意识别。

当积分区域含有圆形或者圆形的一部分，或者被积函数含有X方+Y方这种形式的时候，通常考虑使用极坐标变换。要牢记直角坐标系与极坐标系之间的转化公式以及不要忘记被积函数后面要多乘以一个r。

二重积分的计算中最难的一点便是分区域积分，有的时候因为积分区域在不同的地方边界的表达式不一样，所以要将积分区域进行划分，但这种属于比较简单的。更困难的一类问题是因为被积函数是分段函数，所以需要对积分区域进行划分，通常情况下带有绝对值，max和min，sgn，取整等等的函数都是需要进行分区域积分的，这不仅要求对上述函数的性质掌握地非常熟练，也需要快速及准确地画出它们的图形，这是二重积分里面对同学要求最高的一部分内容，需要多加训练。