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2025考研
考研数学冲刺专题之多元函数的可微性
2022-11-08 14:29:16
考研数学
考研冲刺
多元函数的可微性是高数下册非常难的一个知识点，很多同学反映不好理解。关于这部分内容，我们需要掌握如下三块知识：第一，多元函数在一点处可微的定义;第二，多元函数在一点处可微的判定方法;第三，多元函数在一点处可微，和在该点处极限存在，连续，可求偏导与偏导数连续之间的关系。
要理解多元函数在一点处可微的定义，可以与一元函数做对比。总的来说，函数在一点可微的意思是指，函数值的变化与线性变化的差值，是自变量变化的高阶无穷小。在多元函数部分亦是如此，不过现在自变量变成了两个，因此减掉的是两个线性变化量，以及剩余部分变成了距离差值的高阶无穷小。在一元函数中，可微与可导是等价的。而到了多元函数，可微和可导，当然这里指的是可求偏导，并不等价，二者没有必然联系。
判定多元函数在一点的可微性方法也是固定的，第1步，先求出在该点处关于x和关于y的偏导，分别令他们是A和B，代入到可微性的定义式中，再去求极限。如果极限求出来等于0，那么便可以说明函数在这一点是可微的，如果极限不存在或虽然存在但不等于0，则说明不可微。
第三部分知识比较复杂，关系很多，书上一般都会写一个他们之间关系的表格，这个表格是需要记住的。当然了，要准确地记住它并不容易，大家需要重点记住几个特例，利用这几个特例便可以记住他们之间的关系。比如某点处两个偏导数存在，并不能推出在该点处可微等等。
多元函数可微与一元函数可微，既有联系又有不同，大家需要重点关注他们的不同点。
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