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天津工业大学2023考研复试大纲--014数学科学学院

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014数学科学学院

科目名称：常微分方程

一、课程的性质和目的

《常微分方程》课程是数学、信息与计算科学专业本科生必修的一门主干课程。《常微分方程》已成为研究自然现象的强有力工具。在力学、天文学、物理学及工程技术中，应用微分方程的理论和方法，已经取得了巨大的成就。《常微分方程》理论知识是理工科学生必备的数学专业基础知识，它在培养数学及信息与计算科学的专门人才的过程中具有重要的课程地位;本课程旨在培养学生的微分方程的基础知识与方法，并为运用微分方程解决相关的实际问题打下坚实的理论基础。

本课程主要任务为：

1.教授求解常微分方程的常用方法;

2.培养学生关于常微分方程的一般理论;

3.培养学生运用常微分方程解决实际问题的能力，为后继课程的学习打下坚实的理论基础。

第一章：绪论

1.熟练掌握物理过程的数学建模;

2.熟练掌握微分方程的基本概念;

第二章：一阶微分方程的初等解法

1.熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解;

2.熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用;

3.熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算;

4.熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示;

第三章：一阶微分方程解的存在定理

1.熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用;

2.熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用;

3.理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用;

4.熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗(Clairaut)方程;

第四章：高阶微分方程

1.熟悉齐次线性方程的解的性质与结构，熟练掌握非齐次线性方程与常数变易法;

2.熟练掌握常系数线性方程的解法与应用;包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程、会用比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程;

3.熟练掌握一些可降阶的方程的求解;

第五章：线性微分方程组

1.理解线性微分方程组存在唯一性定理;

2.理解线性微分方程组的一般理论;

3.理解矩阵指数expA的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式;会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组;

第六章：非线性微分方程和稳定性

1.会分析线性系统与简单的非线性系统的平衡点(奇点)及极限环的稳定性;

2.会按线性近似确定微分方程组的稳定性，Lyapunov第二方法;

参考书

1.《常微分方程》(第三版)，王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，高等教育出版社，2007年;

2.《常微分方程》[俄]V.I阿诺尔德著，科学出版社，2001

科目名称：泛函分析

第1章、线性距离空间

知识点：距离空间、点集与映射的基本概念及性质，赋范空间的完备性，经典Banach空间，稠密集，疏朗集，第二纲集，压缩映射原理及其应用。

第2章、Hilbert空间

知识点：内积空间及其应用。

第3章、Banach空间上的有界线性算子

知识点：线性算子的有界性、连续性;算子范数的定义，算子或泛函范数的计算;共鸣定理，Hahn-Banach定理，开映射，逆算子，闭图象定理及其应用;共轭空间的表示。

第4章、有界线性算子谱论

知识点：具体有界线性算子的谱的计算，紧算子、自伴算子的性质。

参考书：

泛函分析，江泽坚、孙善利，高等教育出版社

泛函分析，刘炳初编著

科目名称：概率论与数理统计

一、参考教材

魏宗舒等：《概率论与数理统计》，高等教育出版社

二、基本要求

1.一维随机变量的分布、随机变量函数的分布;数学期望、方差;几类重要随机变量的分布。

2.二维随机变量及其分布、随机变量函数的分布。

3.来自正态母体的几个重要统计量的分布。

4.母体分布中未知参数的点估计，估计量优良性的评选标准。

5.母体分布中未知参数的假设检验。

科目名称：实变函数

一、考试的总体要求

实变函数是近代分析数学的基础，考试以实分析的基本知识为主，掌握集合论初步、可测集合及可测函数与勒贝格积分的定义、性质及相关定理。

二、考试内容

集合及其运算、映射、集合的基数、可数集、开集、闭集、内部、闭包、完备集等。点集的Lebesgue测度，可测集的性质等。可测函数，可测函数的几个重要定理，以及Lebesgue积分的定义及性质，一般可积函数，积分与极限换序的若干定理等。

主要参考教材

1、《实变函数论》，江泽坚，高等教育出版社，1994年。

2、《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1979年。

3、《实变函数与泛函分析》，程其襄等，高等教育出版社，1983年。

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