1，求极限，对于高阶的比试求极限，往往需要比较高阶的泰勒展开，这时所用的余项一般式佩亚诺余项。

而这个地方也就是同学们常见的错误点，就是对于要展开到的阶数的判断不足，要展开的阶数不是“出现即可”而是要“应有尽有”，应将所有的对应所求阶数的部分都表达出来。

2，求积分，对于一些具有特殊性质的函数的积分大小判断，往往可以使用泰勒展开来进行对积分的放缩，这里一般是一阶展开的拉格朗日的余项，这里的需要二阶导数有界，才能有效的进行放缩，不然无法对二阶导部分积分。

常见错误就是把二阶导当做一个常数来积分，从而导致出错。

3，求高阶导数，对于某一点的的高阶导数，可以用对应阶数的泰勒展开来求，一般是写出对应函数的泰勒展开，和泰勒展开的公式做对比，从而得到对应点高阶导数的值，而这一类题目，往往不需要考虑余项。

这里的常见错误在于，对于非固定点的导数，误用这种方法，从而导致错误。

4，验证中值定理，对于某些中值定理的问题，涉及到较高阶数的导数的情况（一般要二阶以上），往往可以考虑泰勒公式，在这里没有很一般的特性总结，但是常用的原则是在某一定点处展开，然后表示动点的过程中作差消去，这里一般是使用拉格朗日余项。

这里的常见错误在于，列出两个及以上的泰勒公式时，把两个展开式中的ζ当做同一个。